OBJETIVO GENERAL

 

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

 

 

 

 

 

 

El alumno dominará la teoría de secciones cónicas, las cuales son el circulo, parábola, elipse e hipérbola, así como los métodos matemáticos necesarios para resolver todo tipo de reactivos que involucre este tipo de figuras. Aprenderá también diversos tipos de aplicaciones.

 

 

·         Dada la forma general de una ecuación reducirla a su forma ordinaria

 

·         Dada la forma ordinaria de una ecuación  reducirla a su forma general

 

·         Dada la ecuación de una sección cónica, el alumno aprenderá a identificarla, es decir, sabrá si la ecuación representa una elipse, parábola, hipérbola o circulo.

 

·         Identificar todos los elementos de una sección cónica (focos, centro, vértices, lado recto, directriz, excentricidad, etc.).

 

·         Deducir la ecuación de la cónica teniendo únicamente las coordenadas de los elementos de la cónica.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejercicios

 

 

Nivel de dificultad

 

Simple

Medio

Avanzado

Problema de aplicación.

 

 

 

 

Simple

 

1.   Determina las coordenadas del centro de la siguiente hipérbola

 

 

Solución:

     De la ecuación anterior, como esta dada en forma ordinaria, reconocemos de inmediato las coordenadas del centro, solo basta con identificar la ecuación dada con la siguiente ecuación de la hipérbola

 

 

en donde (h , k) son las coordenadas del centro. Por lo tanto las coordenadas del centro de la hipérbola dada son

 

 

 

2.   Determina la excentricidad de la siguiente elipse

 

 

Solución:

     De la ecuación anterior obtenemos los siguientes valores

 

 

 

para hallar el valor del parámetro c empleamos la siguiente relación

 

 

sustituyendo los valores obtenemos

 

 

     La excentricidad se define de la siguiente manera

 

 

sustituyendo los valores de  a y c obtenemos que la excentricidad es

 

 

 

 

3.  Encuentra la longitud del lado recto de la siguiente parábola

 

 

Solución:

     Si identificamos la ecuación dada con la forma ordinaria de la elipse

 

 

nos damos cuenta que 4p = 12 y como el lado recto esta dado por la cantidad de 4p, entonces la longitud del lado recto es 12

 

 

 

 

4. La siguiente ecuación corresponde a un circulo de centro (3 , 0). Determina el valor del radio de este circulo

 

 

Solución:

     Al identificar la ecuación dada con la ecuación del circulo en su forma ordinaria

 

 

nos damos cuenta del valor del radio

 

 

 

 

 

 

5. Determina las coordenadas del foco de la siguiente parábola

 

 

Solución:

     Comparando la ecuación dada con la siguiente que es la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x

 

 

notamos lo siguiente: 4p = -8, por lo que p = -2.

 

     Como p < 0 entonces las coordenadas del foco están a 2 unidades hacia la izquierda del vértice, y como las coordenadas de este son (-2 , 3) entonces el foco está en

 

 

     Observe la siguiente figura, pues en ella se muestra la gráfica de la parábola tratada en este ejercicio.

 

 

 

 

6. Determina la ecuación ordinaria del circulo cuyo centro es (4 , 5) y radio igual a 5.

 

Solución:

     Sabemos que la ecuación de un circulo de radio r y centro en (h , k) esta dada por

 

 

para el ejercicio que nos ocupa, tenemos que h = 4 ,  k = 5 y r = 5, sustituimos estos valores en la ecuación anterior y obtenemos la ecuación pedida.

 

 

 

 

 

Medio

 

7. Encuentra la ecuación del circulo cuyo centro es (3 , -4) y que pasa por el punto (5 , 2).

 

Solución:

     Sabemos que la ecuación del circulo con centro en (h , k) es

 

 

para nuestro caso las coordenadas del centro son (3 , -4), sustituyendo estas coordenadas la ecuación es

 

 

solo falta por determinar el valor de r que representa el radio del circulo, para hacerlo sustituimos las coordenadas del punto (5 , 2) dado en la ecuación anterior

 

 

realizamos la suma entre los paréntesis

 

 

desarrollamos los cuadrados

 

 

y obtenemos el valor del radio al cuadrado

 

 

sustituyo este último valor en la ecuación del circulo y obtengo la forma ordinaria del circulo pedido.

 

 

     La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación del circulo analizado en este ejercicio

 

 

 

 

 

 

8. Determina la forma ordinaria de la ecuación del circulo cuyo diámetro es el segmento  definido por los puntos A(-3 , -4) y B(4 , 3).

 

Solución:

     Es claro que el centro del circulo es el punto medio de los dos puntos que definen el diámetro, de manera que lo primero que hay que determinar son las coordenadas de ese punto medio. La fórmula que determina las coordenadas del punto medio es

 

 

sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula anterior obtenemos

 

 

ahora realizamos las operaciones aritméticas y obtenemos las coordenadas del centro del circulo

 

 

si sustituimos las coordenadas del centro en la ecuación del circulo

 

 

obtengo lo siguiente

 

 

pero aún falta por determinar el valor del radio, para determinarlo solo sustituimos cualquiera de los dos puntos que definen el diámetro, sustituyamos por ejemplo el punto B

 

 

realizo las operaciones entre paréntesis

 

 

desarrollo los cuadrados

 

 

realizo la suma indicada y obtengo el valor del radio al cuadrado

 

 

este último valor lo sustituyo en la ecuación del circulo y obtengo la ecuación requerida.

 

 

a continuación se muestra la gráfica del circulo analizado en este ejercicio

 

 

 

 

9. Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice esta en (4 , 1) y su directriz es x = 2.

 

Solución:

     Como el eje de la parábola ha de ser perpendicular a la directriz, entonces dicho eje es paralelo al eje x pues la directriz x = 2 es una recta vertical, por lo tanto la ecuación de la parábola que se pide tiene la siguiente forma:

 

 

siendo (h , k) las coordenadas del vértice de la parábola, sustituyamos los valores del vértice

 

 

solo falta determinar el valor de p. Se sabe que entre el vértice y la directriz hay una distancia de p unidades, por lo que el valor de p lo encuentro mediante la formula de la distancia entre el vértice y el punto (2, 1) determinado por la intersección de la directriz con el eje de la parábola

 

 

realizo las sumas entre paréntesis

 

 

desarrollo los cuadrados

 

 

y finalmente encontramos el valor de p

 

 

sustituimos el valor de p en la ecuación de la parábola

 

 

finalmente encontramos la ecuación de la parábola.

 

 

 

 

10. Determina las coordenadas del vértice y de el foco, encuentra también la ecuación de la   directriz de la siguiente parábola:

 

 

Solución:

     Para identificar las coordenadas de los elementos que se nos pide, lo primero que debemos realizar es llevar la ecuación que se nos da a su forma ordinaria, comenzamos despejando a la variable y

 

 

en seguida factorizamos al coeficiente de la variable x

 

 

la ecuación de la parábola ya esta en su forma ordinaria, solo sumemos un cero a la variable y

 

 

para darnos cuenta que las coordenadas del vértice son

 

 

de la forma ordinaria de la ecuación se tiene que

 

 

por lo que el valor de p es 3. Como ya conocemos las coordenadas del vértice, también podemos conocer las coordenadas del foco, pues este se localiza a p unidades del vértice sobre el eje de la parábola el cual es paralelo al eje x. Fijémonos que como p > 0 entonces del vértice nos movemos 3 unidades hacia la derecha. Las coordenadas del foco son

 

 

La directriz es

 

 

ya que esta se halla a 3 unidades a la izquierda del vértice. La siguiente figura muestra la gráfica de la parábola analizada en este ejercicio

 

 

 

 

 

 

 

11. Determina la ecuación de la elipse cuyos focos son (-4 , 2) y (4 , 2) y la longitud de su eje mayor es 10.

 

Solución:

     Por la ubicación de los focos nos damos cuenta que la coordenada y de los focos no cambia, esto indica que el eje mayor de la elipse esta sobre la recta y = 2 es decir, el eje mayor es paralelo al eje x, y por lo tanto la forma de la ecuación es la siguiente:

 

 

     Sabemos también que la longitud del eje mayor es 2a = 10 por lo que el valor de a es 5. Para determinar las coordenadas del centro empleamos la formula del punto medio, pues el centro se encuentra en el punto medio de los focos que nos han dado

 

 

así pues las coordenadas del centro son (0 , 2), solo falta por determinar el valor de b. para determinar este valor, notemos que c = 4 pues c es la distancia del centro a los focos, ahora usamos la siguiente relación

 

 

sustituimos los valores de a y c

 

 

y obtenemos el valor de b

 

 

ya tenemos todos los elementos de la elipse, los sustituimos en la forma ordinaria y obtenemos la ecuación requerida:

 

 

 

     La siguiente figura muestra la gráfica de la elipse estudiada en este ejercicio

 

 

 

 

 

 

12. Determina las coordenadas del centro, vértice y focos, determina también la excentricidad de la siguiente elipse:

 

 

Solución:

     Para determinar todos los elementos de la elipse es necesario llevar la ecuación anterior a su forma ordinaria, comenzamos reordenando la ecuación anterior

 

 

a continuación factorizamos los coeficientes de los términos al cuadrado

 

 

completamos los trinomios cuadrados perfectos sumando la constante adecuada; esa misma constante hay que sumarla en ambos lados de la igualdad

 

 

una vez completado el trinomio cuadrado perfecto, lo factorizamos

 

 

dividimos toda la ecuación por 36 para obtener la unidad del lado derecho de la ecuación

 

 

con lo que encontramos la forma ordinaria de la elipse dada.

 

 

     Lo primero que identificamos de la ecuación anterior son las coordenadas del centro:

 

 

     Identificamos también los valores de a y b

 

 

 

para determinar las coordenadas del foco necesitamos también conocer el valor de c, para la cual empleamos la siguiente relación de la elipse:

 

 

sustituimos los valores de a y b en la ecuación anterior

 

 

y obtenemos el valor de c

 

 

     Como ya conocemos todos los parámetros en la ecuación de la elipse, ya puedo conocer las coordenadas de los vértices, pues estos se hallan a 3 (recuerde que a = 3) unidades del centro de la elipse sobre el eje mayor que es paralelo al eje y. Las coordenadas de los vértices son:

 

 

     Las coordenadas de los focos están a c = 2.24 unidades del centro sobre el eje mayor, de manera que estas coordenadas son:

 

 

     La excentricidad es

 

   

 

 

 

 

 

     La gráfica de la elipse es como se muestra en la figura.

 

 

 

 

 

 

 

13.    Halla la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola con centro en (-4 , 1), un vértice en

 (2 , 1) y la longitud del eje imaginario igual a 8.

 

Solución:

     Como la coordenada y del centro coincide con la coordenada y del vértice dado entonces el eje real es paralelo con el eje x. Sustituyendo las coordenadas del centro (-4 , 1) en la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola, esta queda así:

 

 

sólo falta por determinar el valor de los parámetros a y b; sabemos que la distancia del centro al vértice es a unidades, por lo que para hallar el valor de a es necesario hallar la distancia entre el centro y el vértice, la cual es:

 

 

desarrollando los cuadrados obtenemos

 

 

por lo que a = 6.

 

     Para hallar el valor de b empleamos el hecho de que la longitud de el lado imaginario es 2b y este es igual a 8 por lo que b = 4. Ya tenemos los valores de a y b, sustituimos en la ecuación y obtenemos

 

 

desarrollamos los cuadrados y obtenemos la forma general de la ecuación de la hipérbola

 

 

 

 

 

14.  La siguiente ecuación

 

 

esta en su forma general, llévala a su forma ordinaria, determina las coordenadas del centro, foco, vértices y haz un dibujo de la figura

 

Solución:

     Como los coeficientes A = 9 y C = 16 son diferentes y de signo contrario, entonces se trata de una hipérbola. Comencemos la reducción a la forma ordinaria reordenando los términos:

 

 

factorizando los coeficientes A y C

 

 

completamos ahora el trinomio cuadrado perfecto para cada variable

 

 

una vez completado el trinomio podemos realizar la siguiente factorización

 

 

dividimos toda la ecuación por 144

 

 

y obtenemos la forma ordinaria de la ecuación dada.

 

 

lo primero que identificamos en la ecuación anterior son las coordenadas del centro:

 

 

Identificamos también los valores de los parámetros a y b, pues:

 

 

 

también conocemos el valor del parámetro c:

 

 

     Ahora, por la forma ordinaria de la ecuación, sabemos que el eje real es paralelo al eje x de manera que las coordenadas de los vértices serán (2 ± a , -1), mientras que las coordenadas de los focos serán (2 ± c , -1). Por lo tanto, las coordenadas de los vértices son:

 

 

mientras que las coordenadas de los focos son:

 

 

 

 

la gráfica de la figura es como se muestra en la figura.

 

 

 

 

 

 

15.  Encuentra la ecuación ordinaria del circulo cuyo centro esta en (-3 , -4) y es tangente a la recta

 

 

Solución:

     Lo que se pide en este problema es la ecuación ordinaria de un circulo, la cual es:

 

 

como las coordenadas del centro han sido dadas entonces la ecuación queda así

 

 

solo falta por determinar el valor del radio. Si observamos la gráfica al final del problema observamos que el radio es la distancia que hay entre el centro del circulo y el punto de tangencia de la recta con el circulo, esta distancia es la misma que hay entre la recta dada en el problema y el centro del circulo, entonces para hallar el valor del radio usamos la formula de la distancia entre una recta y un punto, la cual es

 

 

donde (xo , yo) son las coordenadas del punto y Ax + By + C = 0 la ecuación de la recta.           Sustituyendo los coeficientes de la recta y las coordenadas del punto, el radio esta dado por

 

 

desarrollando las sumas el radio es

 

 

finalmente, realizando la división indicada obtenemos el valor final del radio

 

 

como en la forma ordinaria de la ecuación del circulo necesitamos el cuadrado del radio entonces esta es

 

 

sustituimos esta valor en la forma ordinaria del circulo y obtenemos la ecuación requerida

 

 

la gráfica del circulo y la recta es como se muestra a continuación.

 

 

 

 

 

 

Avanzado

 

16.  Halla la forma ordinaria de la ecuación de la elipse cuyas coordenadas del centro son (1 , 2), uno de los focos está localizado en (6 , 2) y el punto (4 , 6) es un punto sobre la elipse

 

Solución:

     Al observar las coordenadas del foco y del vértice que se nos dan observamos que las coordenadas y de estos puntos no varían, esto significa que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje x, por lo tanto, la forma ordinaria de la ecuación es como sigue:

 

 

como ya conocemos las coordenadas del centro entonces las sustituimos en la ecuación anterior

 

 

de la ecuación anterior desconocemos los valores de los parámetros a y b, pero el parámetro c si lo conocemos, pues es la distancia que hay entre el centro y el foco, los cuales conocemos, sustituimos las coordenadas en la formula de distancia entre dos puntos y obtenemos

 

 

desarrollamos los cuadrados y las sumas dentro de la raíz y encontramos el valor de c

 

 

sabemos que la relación entre los parámetros de la elipse es como se da a continuación

 

 

pero como ya conocemos el valor de c, entonces la relación es

 

 

sustituimos b2 en la ecuación de la elipse

 

 

de esta ecuación desconocemos el valor del parámetro a, para conocerlo será necesario sustituir las coordenadas (4 , 6) de un punto sobre la elipse

 

 

desarrollando los binomios al cuadrado

 

 

desarrollando los números al cuadrado obtenemos una ecuación para la cuya única variable es el parámetro a

 

 

resolviendo la ecuación anterior encontraremos el valor del parámetro a. Lo primero que hay que hacer es multiplicar por el siguiente polinomio la ecuación anterior

 

 

así, en vez de tener una división de polinomios, tenemos una multiplicación de polinomios, los cuales son más fáciles de resolver

 

 

realizando las multiplicaciones indicadas obtenemos

 

 

y simplificando obtenemos y una ecuación de orden 4

 

 

para resolver la ecuación anterior realicemos el siguiente cambio de variable

 

 

entonces la ecuación de orden 4 se convierte en una ecuación de segundo orden, las cuales son muy fáciles de resolver

 

 

para resolver la ecuación anterior, usamos la formula general de segundo orden, la cual sustituyendo los valores de la ecuación anterior resulta ser

 

 

desarrollando las multiplicaciones indicadas

 

 

desarrollando la raíz

 

 

obtenemos dos valores para u, el primero de ellos es

 

 

y el segundo es

 

 

esta última solución la descartamos, pues haría que el valor de b fuera complejo (b2 = -20), por lo tanto el valor de a2 es

 

 

conociendo el valor anterior, conocemos también el valor de b2 

 

 

 

sustituimos este último valor en la ecuación ordinaria de la elipse y obtenemos la solución al ejercicio

 

 

 

 

 

17.  Determina los principales elementos de la siguiente hipérbola dada en su forma general

 

 

Solución:

     Para poder determinar todo lo que se nos pide es necesario tener la forma ordinaria de la ecuación anterior, comenzamos reordenando los términos de la siguiente manera

 

 

factorizando los coeficientes A y C

 

 

completando trinomios cuadrados perfectos

 

 

los trinomios, como ya son cuadrados perfectos, los factorizamos de la siguiente manera

 

 

toda la ecuación la dividimos por 196

 

 

para obtener la unidad del lado derecho de la ecuación, y si conmutamos los sumandos obtenemos la forma ordinaria de la hipérbola dada en el problema

 

 

de inmediato reconocemos los siguientes parámetros

 

 

 

siendo c2

 

 

 

     El primer elemento que identificamos son las coordenadas del centro: (-6 , -1), como ya conocemos los parámetros a, b y c, también conocemos las coordenadas de los vértices, pues estos son (-6 , -1 ± a), mientras que los focos serán (-6 , -1 ± c). Nótese que como el eje real es paralelo al eje y entonces las coordenadas x de vértices y focos no varían. Por lo tanto los vértices son

(-6 , 1) y (-6 , -3)

 

los focos son

(-6 , 6.28) y (-6 , -8.28)

 

la excentricidad y el lado recto son

 

 

 

     Sabemos que si el origen del sistema cartesiano coincide con el vértice de la hipérbola, entonces las asíntotas serán

 

 

pero como el centro de nuestra hipérbola es (-6 , -1) entonces las asíntotas son

 

 

sustituyendo los valores de a y b

 

 

multiplicando por 7 para eliminar el denominador

 

 

las ecuaciones de las asíntotas son

 

 

 

la gráfica de la hipérbola se muestra a continuación.

 

 

 

 

 

 

 

18. Encuentra la ecuación de la recta definida por los puntos de intersección de los siguientes círculos:

 

 

     A continuación halla las coordenadas de los puntos de intersección y dibuja la gráfica de la recta con los círculos.

 

Solución:

     Puesto que los puntos de intersección satisfacen las dos ecuaciones, para obtenerlos se igualan dichas ecuaciones

 

 

     A continuación simplifico la ecuación, primero paso todos los sumandos a un solo lado de la igualdad

 

 

después reagrupo los términos semejantes

 

 

simplificando la expresión anterior se obtiene la siguiente ecuación, en su forma general, de la recta definida por los puntos de intersección de los dos círculos

 

 

a continuación despejo a la variable y

 

 

 

 

 

para obtener la forma tangencial de la recta. Para hallar los puntos de intersección de la recta con los círculos, sustituyo la ecuación de la recta en la ecuación de cualquiera de los dos círculos

 

 

desarrollo el binomio al cuadrado

 

 

y reagrupo los términos semejantes

 

 

simplifico la ecuación y obtengo una ecuación de segundo grado

 

 

la que resuelvo empleando la formula general para ecuaciones de segundo grado

 

 

 

para el ejercicio que nos ocupa se tiene que a = 2, b = -15 y c = 18.25. Sustituyo estos valores en la solución de la formula general y obtenemos

 

 

desarrollando la aritmética se obtiene

 

 

 

 

 

 

tenemos dos soluciones, una de ellas corresponde al signo positivo de la raíz y la otra al signo negativo de la raíz

 

 

 

de esta manera hemos obtenido las abscisas de los puntos de intersección, las correspondientes ordenadas las encuentro sustituyendo estas abscisas en la ecuación de la recta encontrada, para la abscisa x1  tenemos

 

 

 

para la abscisa x2  tenemos la siguiente ordenada

 

 

 

de manera que los puntos de intersección que se me pide en este ejercicio son

 

(5.972 , 2.528)

(1.528 , 6.972)

 

     La gráfica de los círculos y la recta es como se muestra en la siguiente figura

 

 

 

 

 

Problema de aplicación.

 

19.  Un cable suspendido por soportes a la misma altura, que distan 240m entre si, cuelga en el centro 30m. Si el cable cuelga en forma de parábola, encuentre su ecuación colocando el origen en el punto más bajo del cable.

 

Solución:

     La Figura 1 muestra la manera en como el cable cuelga de los soportes, mientras que la figura 2 muestra la elección de los ejes coordenados para analizar el problema, en ella se ve que el origen ha sido colocado en el punto mas bajo del cable, por lo tanto el vértice de la parábola coincide con el origen (0 , 0).

 

 

 

 

 

 

     Como el eje de la parábola es el eje y entonces la ecuación de la misma tiene la siguiente forma

 

 

     Como las coordenadas del vértice son (0 , 0), entonces h = 0  y  k = 0.

 

 

 

     Solo falta determinar el valor del parámetro p. De la gráfica de la parábola se tiene que a x = 120 le corresponde y = 30. Sustituyo estos valores en la ecuación anterior y obtengo

 

 

      Desarrollando el cuadrado y la multiplicación se obtiene

 

 

 

 

     Despejando el parámetro p se obtiene

 

 

     Ya tengo el valor del parámetro p que era lo único que faltaba para determinar la ecuación de la parábola. Sustituimos el valor del parámetro p y obtengo la ecuación pedida

 

 

 

 

 

20. Los ingenieros de la NASA pretenden enviar una sonda espacial a la luna. El departamento de ingeniería en operaciones ha determinado que el mejor momento para lanzar la sonda es cuando la tierra esta en su punto mas lejano del sol. Determina la máxima distancia entre la tierra y el sol si se sabe que la órbita terrestre alrededor del sol es una elipse, con el sol en uno de sus focos, se sabe también que la longitud del eje mayor es de 241,428,000 km y que la excentricidad de la órbita es 0.0167. Determina, también, una ecuación ordinaria que represente la órbita de la tierra.

 

 

 

 

Solución:

     La figura anterior muestra, de manera esquemática, la órbita de la tierra alrededor del sol, en ella observamos al sol colocado en uno de los focos de la elipse, también podemos inferir de la figura que la máxima distancia entre la tierra y el sol es cuando la tierra se halla en el vértice izquierdo de la elipse. De las observaciones anteriores se infiere que la mayor distancia entre la tierra y el sol es a + c, siendo a la distancia del centro de la elipse al vértice izquierdo, c la distancia del mismo centro al foco derecho que es donde se halla el sol. Determinemos, entonces, los parámetros a y c.

 

     Sabemos que el eje mayor, en la elipse, esta dado por la cantidad 2a, de modo que

 

 

dividimos entre 2 para despejar a a

 

 

también sabemos que la excentricidad es

 

 

despejando el parámetro c

 

 

ya tenemos los parámetros necesarios para determinar la mayor distancia entre la tierra y el sol, los sumamos

 

 

y obtenemos la distancia pedida

 

 

     Para determinar la ecuación ordinaria de la órbita hace falta determinar el valor del parámetro b, sabemos que este se relaciona de la siguiente manera

 

 

desarrollando la suma indicada obtenemos

 

     Tenemos todo para determinar una ecuación ordinaria que represente la órbita elíptica de la tierra, solo falta determinar las coordenadas del centro de la misma; elijamos las coordenadas mas simples y propongamos que el centro de la elipse sea el origen, entonces la ecuación es la siguiente

 

 

sustituyendo los valores apropiados encontramos la ecuación pedida.